TEORÍA MEMBRANAL EN BÓVEDAS CAÑÓN (PARTE 3 de 4)

Para continuar con el estudio de las bóvedas, y la búsqueda de un modelo que nos permita simplificar el método general de resolución, se desarrollarán varios conceptos relacionados con la teoría membranal.

Despreciando los términos correspondientes a la flexión las ecuaciones de equilibrio quedan de la siguiente manera:

Despreciando las curvaturas, se puede trasladar un resultado que es válido para las tensiones conjugadas a las fuerzas rasantes por unidad de longitud (Txy = Tyx), lo que hace que el problema esté completamente determinado resolviendo el sistema de tres ecuaciones (1 a 3) y tres incógnitas. Es interesante observar el significado físico de estas expresiones: las dos primeras ecuaciones representan el equilibrio de un elemento diferencial de chapa plana de dimensiones dx y dy=R.fi, mientras que la tercera ecuación representa un equilibrio funicular, es decir, el de un cable traccionado por la acción de una carga uniformemente distribuida en su longitud.

Croquis de una chapa plana solicitada por fuerzas coplanares a la misma.

Croquis de un cable tensionado por una carga uniformemente distribuida

Para el caso particular de cargas gravitatorias (q1 =0), de la ecuación 3 despejamos fácilmente el esfuerzo axial transversal por unidad de longitud de la fibra media, que se mantiene constante a lo largo de la bóveda, solo variando en el recorrido del arco de la sección transversal:

Sustituyendo este resultado en la ecuación 2 e integrando obtenemos el esfuerzo tangencial por unidad de longitud de la fibra media:

Por simetría en el centro de la cáscara la función f es nula, ya que para un valor de x = 0 el esfuerzo tangencial es cero, de esta manera obtenemos la siguiente ecuación simplificada

Se podría hacer una analogía comparando esta expresión y la del cortante en una viga recta simplemente apoyada. Sustituyendo este resultado pero ahora en la ecuación 1 e integrando obtenemos el esfuerzo axial longitudinal por unidad de longitud de la fibra media:

Si analizamos este último resultado, al igual que hicimos con el esfuerzo tangencial T, se puede establecer una analogía entre Nx y el momento flector en una viga recta simplemente apoyada.

Diagramas de T y NX para fi = constante

A continuación se presentan los casos de las directrices más utilizadas en la práctica. Vale la pena aclarar que los cálculos se hicieron para una carga gravitatoria de intensidad g y tomando valores negativos para los esfuerzos axiales de compresión.

Viendo los diagramas de solicitación, podemos notar que en el caso de algunas secciones como la circular, solo hay esfuerzos de compresión en la dirección normal a la directriz (en el caso de la sección elíptica puede probarse que, si bien hay tracciones en la cáscara, no alcanzan a equilibrar las compresiones; en el caso de la sección parabólica, si bien se encuentra totalmente traccionada, se ve que el fenómeno físico es completamente análogo). Para equilibrar estas compresiones, es necesario que aparezca una tracción, que será proporcionada por el nervio o viga de borde.

Esquema de funcionamiento del conjunto tensor – cáscara de directriz circular.

Los esfuerzos se transmiten de una pieza a la otra por fricción (para el caso de una bóveda de directriz circular, los esfuerzos de corte valen T = 2gx), sin embargo, el pasaje brusco de compresión a tracción genera una incompatibilidad de deformaciones, y como consecuencia una perturbación importante del trabajo de membrana en el borde de la cáscara.

Otra perturbación aparece por la deformación de la viga de borde producida por su propio peso. Como la cáscara tiene una mayor rigidez longitudinal, proporcionada por su curvatura, tratará de deformarse menos que la viga de borde, lo que provoca que en las cercanías de la misma aparezcan deformaciones producidas por su propio peso, que está “colgando” del borde de la bóveda. De esta forma aparecen esfuerzos que no pueden determinarse por la teoría membranal. Este fenómeno puede controlarse acotando la altura de la viga; esto no nos limita de ninguna manera, ya que la tracción la lleva completamente la armadura; el hormigón del tensor solo proporciona protección al material del ambiente externo y no interviene en la capacidad resistente de la pieza. Generalmente no supera los 50 cm.

Estas perturbaciones disminuyen notablemente al disminuir la longitud del cascarón. La bibliografía establece que un límite razonable para despreciar estos efectos de borde es el establecido para la determinación de un cascarán corto, es decir L/D <=0,5. La norma CIRSOC admite la utilización de soluciones aproximadas que satisfagan las condiciones de equilibrio pero no las de compatibilidad de deformaciones solo en el caso en que exista una amplia experiencia que haya demostrado que el diseño con ese método es seguro. La teoría membranal para cascarones cilíndricos está ampliamente difundida en la bibliografía y puede ser utilizada para el predimensionamiento de la bóveda sin ningún problema.

Un caso aparte es el fenómeno que se da con la cáscara cilíndrica de directriz catenaria. La bóveda no trabaja longitudinalmente, sino que se comporta como una serie de arcos comprimidos apoyados en las vigas de borde, cuyo papel en el funcionamiento de la estructura cambia radicalmente. Los esfuerzos verticales de la cáscara más el peso propio del nervio son transmitidos por flexión del mismo hacia apoyos puntuales (como pueden ser pilares) o continuos (como muros de mampostería); los esfuerzos horizontales de la cáscara serán transmitidos por flexión de un nervio horizontal hacia los apoyos, que pueden ser los mismos pilares o muros reforzados para resistir empujes (con elementos como contrafuertes) o si estos no pueden hacerlo, se deberá disponer de tensores que tomen las reacciones de la viga. El fenómeno de los empujes transversales, que también se observa en el caso de la sección parabólica, no era tomado en cuenta en las bóvedas que se construyeron a principios del siglo pasado, que se analizaban asumiendo que la tangente en el arranque de la generatriz era vertical.

La teoría membranal nos da un método simple para determinar las solicitaciones de un cascarón cuya longitud no sobrepasa cierto límite. En cascarones más largos, las perturbaciones en los bordes de la bóveda hacen que el trabajo de membrana se vea alterado significativamente y que aparezcan solicitaciones que no se pueden determinar por el método aquí estudiado.

En el próximo y último capítulo se resolverá un ejemplo práctico con el método tradicional y paralelamente con un software de elementos finitos.

Agradecimientos

Un reconocimiento especial al Ing. Jaime Parada, cuyas clases de “Estructuras Especiales” en la Universidad de la República fueron fuente de inspiración y consulta para este artículo.

Agradezco el invaluable aporte de los Ingenieros Antonio Dieste, Gonzalo Larrambebere y Carlos Stapff.

Bibliografía Consultada

• Estructuras Laminares – Jean Courbon

• Reglamento CIRSOC 201 - Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón

• Eurocódigo 2 – Proyecto de estructuras de hormigón