TEORÍA MEMBRANAL EN BÓVEDAS CAÑÓN (PARTE 2 de 4)

Para continuar con el estudio que nos ocupa, se desarrollarán brevemente los lineamientos de la teoría general de resolución de estructuras laminares.

Se deben plantear las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones para un elemento infinitesimal de cáscara

Elemento diferencial de cáscara sometido a cargas externas y esfuerzos internos

Allí encontramos las tres componentes de la carga externa según el sistema de coordenadas, los esfuerzos axiales longitudinal y tangencial, de corte, de corte en el plano, los momentos flectores y torsores.

El elemento se representa como la superficie media del mismo. Esto se debe a que los desplazamientos se consideran muy pequeños con respecto al espesor de la pieza. Sumado al hecho de que, según la ley de deformación de Kirchhoff, los puntos de la superficie media de la cáscara solo sufren corrimientos según rectas normales a esa superficie, que además permanecerán normales después de la deformación, nos permite reducir el estudio de las deflexiones de la cáscara al estudio de las deflexiones de su superficie media. Un resultado similar puede trasladarse a las solicitaciones, estudiando un elemento infinitesimal de cáscara alrededor de un punto de la misma. Es decir, para definir el estado de solicitación en un punto de la cáscara (de valor F), basta definir el valor de la tensión en el punto correspondiente de la superficie media de la misma (fx(0)).

Se desprecian los esfuerzos normales que actúan sobre la superficie media.

A partir de tomar varias hipótesis simplificativas de la teoría de resistencia de materiales y de realizar una serie de operaciones matemáticas llegamos a una ecuación diferencial de orden ocho en función de la variable de desplazamiento normal a la superficie de la cáscara w, que queda completamente determinada con las condiciones de borde de la estructura:

D y K son constantes que definen la rigidez de membrana y a flexión de la pieza en función del módulo de elasticidad, el espesor de la cáscara y el módulo de Poisson (la norma CIRSOC permite tomar un valor nulo en el caso del hormigón)

La función del desplazamiento w tendrá dos términos:

• wP es la solución particular de la ecuación diferencial. Puede probarse que el estado membranal de la cáscara, en el cual la estructura transmite las cargas externas a los apoyos a través de esfuerzos contenidos en los planos tangentes a su superficie punto a punto, representa una solución particular para el problema general de la bóveda cilíndrica. Las excentricidades de las resultantes de las solicitaciones en el espesor de la cáscara tienen como orden de magnitud e/R, y como consecuencia de que el radio de curvatura resulta ser mucho mayor que el espesor en términos relativos, los efectos de la flexión se pueden despreciar.

• wH es la solución de la ecuación homogénea. La solución membranal (o particular) no siempre satisface las condiciones de borde de la estructura, lo que hace que haya que corregirla con un término adicional que sí las tome en cuenta. Este término sale de resolver la siguiente ecuación diferencial

es decir, resolver la estructura sin las cargas externas, en equilibrio con los esfuerzos de borde.

De esta forma, podemos escribir esta función así:

donde k representa las ocho raíces (complejas) del polinomio característico y Aj las ocho constantes arbitrarias, que quedan completamente definidas aplicando las ocho condiciones de borde de la estructura, cuatro en cada borde del cascarón.

Puede resultar sumamente complejo hallar las constantes arbitrarias, sin embargo el problema puede simplificarse en ciertas situaciones, por ejemplo, en los llamados “cascarones cortos”. Estas estructuras cumplen la siguiente relación geométrica:

L/D <= 0,5

En estas condiciones, pueden despreciarse con suficiente aproximación los efectos de flexión y aplicar la teoría membranal a la cáscara. Esta situación se puede asimilar a lo que ocurre con una viga de hormigón armado: Si llamamos h a la altura de la viga y L a su longitud, tenemos que si cumplen con la siguiente condición:

L/h <= 2

no es aplicable la teoría clásica de flexión, ya que las hipótesis que sirvieron para su deducción no se verifican (Navier – Bernoulli y el principio de Saint – Vénant). Las normativas denominan a estos elementos como “Vigas de gran altura”, aunque más que como una “viga” se comporta como una chapa que recibe cargas en su plano. El modelo que se utiliza es el de bielas y tirantes, y se basa en utilizar las trayectorias de las tensiones principales para definir una estructura reticulada alterna, en donde las barras traccionadas (los tirantes) representan las isostáticas de tracción y las barras comprimidas (bielas) representan las isostáticas de compresión.

Izquierda: Trayectorias de las tensiones principales en una viga de gran altura. Derecha: Modelo de bielas y tirantes (Las líneas continuas representan tracciones y las punteadas compresiones).

En el próximo capítulo agregando hipótesis simplificativas, abordando el caso particular de la teoría membranal para estructuras laminares.

Agradecimientos

Un reconocimiento especial al Ing. Jaime Parada, cuyas clases de “Estructuras Especiales” en la Universidad de la República fueron fuente de inspiración y consulta para este artículo.

Agradezco el invaluable aporte de los Ingenieros Antonio Dieste, Gonzalo Larrambebere y Carlos Stapff.

Bibliografía Consultada

• Estructuras Laminares – Jean Courbon

• Reglamento CIRSOC 201 - Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón

• Eurocódigo 2 – Proyecto de estructuras de hormigón

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