TEORÍA MEMBRANAL EN BÓVEDAS CAÑÓN (PARTE 4 de 4)
Cerramos el estudio que comenzamos hace 3 capítulos con la resolución de un ejemplo práctico, utilizando dos métodos distintos y analizando los resultados de cada uno y sus correlaciones.
El ejemplo consiste en una bóveda cilíndrica de directriz circular, con un radio de 5 m, una longitud de 10 m, y un espesor de 8 cm, apoyada en sus tímpanos. El nervio de borde tiene sección rectangular de 15 cm de ancho y 30 cm de altura.
Las cargas a estudiar serán:
Las del peso propio de la cáscara, que se obtiene multiplicando la densidad del hormigón (2400 kg/cm2) por el espesor:
Entre impermeabilización, revestimiento y sobrecarga se añaden unos 50 kg/cm2 para completar una carga total de p=240 kg/cm2.
Cálculo de solicitaciones por el método de la Teoría Membranal
Utilizando las expresiones halladas anteriormente podemos calcular las solicitaciones en cada punto de la cáscara, así como los esfuerzos principales para hallar la tracción máxima y dimensionar en consecuencia (utilizando las fórmulas clásicas de la mecánica del sólido).
Croquis en planta de los esfuerzos principales sobre la cáscara
Lo que queda por calcular es la tracción máxima que deberá llevar el tensor, que se obtiene integrando el diagrama de esfuerzos tangenciales en el borde de la cáscara:
Cálculo de solicitaciones por con software de elementos finitos
A continuación haremos un análisis cuantitativo y cualitativo de las diferencias del método expuesto y el de elementos finitos, utilizado en las soluciones computacionales para cálculo de estructuras.
Esfuerzos Axiales Longitudinales
Corte con un plano paralelo a la directriz (xo=0) [if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f> <v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f> <v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f> <v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f> <v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:38.25pt; height:15pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:\Users\rsanchez\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata> </v:shape><![endif][if !vml][endif][if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1575820101"> </o:OLEObject> </xml><![endif]del diagrama de esfuerzos axiles longitudinales por unidad de longitud. El primero corresponde al obtenido con elementos finitos, y el segundo al cálculo por medio de la teoría membranal
Planta de media cáscara, en donde se muestra el diagrama con los valores del esfuerzo axil longitudinal por unidad de longitud (en kg/m).
Figura 13. Corte con un plano paralelo a la generatriz (fio=0)del diagrama de esfuerzos axiles longitudinales por unidad de longitud.
Aquí se marcan claras diferencias entre las dos metodologías en estudio. Desde el punto de vista cualitativo, es claro que un programa de elementos finitos impondrá en todos los puntos de la estructura la compatibilidad de las deformaciones, lo que provoca que aparezcan tracciones en la cáscara, y que el diagrama de cambie significativamente respecto del obtenido con la teoría membranal.
Cuantitativamente, se puede observar que utilizando elementos finitos el nervio de borde no está tan solicitado debido a que la tracción total es tomada también por la cáscara, mientras que en la teoría membranal hay un pasaje brusco de compresión a tracción entre la cáscara y el tensor que provoca que éste último se solicite más. La norma CIRSOC contempla este problema, permitiendo la concentración de la armadura de tracción en la zona de mayores tensiones (que en este caso corresponde al nervio de borde), siempre y cuando se coloque una cuantía mínima de armadura en toda la zona traccionada de la cáscara, con una cuantía geométrica (determinada con el espesor total de la cáscara) de 0,0035.
Concentración de la armadura de una cáscara (Tomado del Reglamento CIRSOC 201. Capítulo 19. Figura 19.4.8).
Viendo el corte del diagrama con un plano paralelo a la generatriz, puede concluirse que la forma en que varía la solicitación a lo largo de la longitud de la bóveda se mantiene en los dos modelos.
Esfuerzos Axiales Transversales
Corte con un plano paralelo a la directriz (xo=0) del diagrama de esfuerzos axiles transversales por unidad de longitud. El primero corresponde al obtenido con elementos finitos, y el segundo al cálculo por medio de la teoría membranal.
Planta de media cáscara, en donde se muestra el diagrama con los valores del esfuerzo axil transversal por unidad de longitud (en kg/m).
Corte con un plano paralelo a la generatriz del diagrama de esfuerzos axiles transversales por unidad de longitud.
En este caso las diferencias no son tan acentuadas, posiblemente el hecho que llama más la atención es la variación de N(fi) a lo largo de la longitud de la bóveda. Utilizando la teoría membranal, vimos que la solicitación se mantenía constante, mientras que en el modelo realizado con elementos finitos existe una variación con la coordenada longitudinal x. Sin embargo, si nos alejamos lo suficiente de la zona del apoyo, el esfuerzo axial se mantiene sin variaciones importantes.
Esfuerzos Tangenciales
Corte con un plano paralelo a la directriz (xo=+-5) del diagrama de esfuerzos tangenciales por unidad de longitud. El primero corresponde al obtenido con elementos finitos, y el segundo al cálculo por medio de la teoría membranal.
Planta de media cáscara, en donde se muestra el diagrama con los valores del esfuerzo tangencial por unidad de longitud obtenido con elementos finitos (en kg/m).
Corte con un plano paralelo a la generatriz (fio=90°) [if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f> <v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f> <v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f> <v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f> <v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f> <v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f> <v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:44.25pt; height:15pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:\Users\rsanchez\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata> </v:shape><![endif][if !vml][endif][if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.3" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1575821229"> </o:OLEObject> </xml><![endif]del diagrama de esfuerzos tangenciales por unidad de longitud.
La variación en sentido longitudinal es lineal en ambos casos, sin embargo observando el perfil transversal el valor en el caso de la teoría membranal aumenta considerablemente una vez que se acerca al borde de la cáscara, dada la concentración de esfuerzos que produce la distribución de tensiones normales.
Agradecimientos
Un reconocimiento especial al Ing. Jaime Parada, cuyas clases de “Estructuras Especiales” en la Universidad de la República fueron fuente de inspiración y consulta para este artículo.
Agradezco el invaluable aporte de los Ingenieros Antonio Dieste, Gonzalo Larrambebere y Carlos Stapff.
Bibliografía Consultada
Estructuras Laminares – Jean Courbon
Reglamento CIRSOC 201 - Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón
Eurocódigo 2 – Proyecto de estructuras de hormigón
